Persamaan Linier 3 Variabel Bentuk Pecahan

Nama : Rizky Amanda Amalia Putri

Kelas : X IPS 2 (29)

3 Sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear berderajat satu yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). 

Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut: ax + by + cz = d atau a1x + b1y + c1z = d1 ex + fy + gz = h a2x + b2y + c2z = d2 ix + jy + kz = l a3x + b3y + c3z = d3 Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real. Keterangan: a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta x, y, z = variabel atau peubah cara menentukan himpunan penyelesaian SPLTV berbentuk pecahan Namun dalam soal-soal matematika yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variabel terkadang kita menemui SPLTV yang berbentuk pecahan seperti sistem persamaan linear berikut ini. 

x − y − z = 1 2 4 x − y + z = −1 3 2 −x + y − z = 4 2 4 3 

Lalu bagaimanakah cara menentukan himpunan 

penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan tersebut? Persamaan pertama: ⇒ 1(1/x) + 2(1/y) + 4(1/z) = 1 ⇒ p + 2q + 4r = 1 ■ Persamaan kedua: ⇒ −1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0 ⇒ −p + 4q + 12r = 0 ■ Persamaan ketiga: ⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1 ⇒ 2p + 8q + 4r = −1 Dengan demikian, kita telah memperoleh SPLTV bentuk baku dengan variabel p, q, dan r yaitu sebagai berikut. p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1) −p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (2) 2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. 

(3) Langkah selanjutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV tersebut dengan menggunakan salah satu dari 5 metode penyelesaian yang telah disebutkan di atas. Misalnya kita gunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut. Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah p sehingga kita akan mengeliminasi p dulu. Untuk menghilangkan peubah p, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing p dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut. p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1 −p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1 2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2 Agar ketiga koefisien q sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dan kedua dengan 2, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut. p + 2q + 4r = 1 |× 2| → 2p + 4q + 8r = 2 −p + 4q + 12r = 0 |× 2| → −2p + 8q + 24r = 0 2p + 8q + 4r = −1 |× 1| → 2p + 8q + 4r = −1 Setelah koefisien p ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini. ● Dari persamaan pertama dan kedua: 2p + 4q + 8r = 2 −2p + 8q + 24r = 0 + 12q + 32r = 2 ● Dari persamaan kedua dan ketiga: −2p + 8q + 24r = 0 2p + 8q + 4r = −1 + 16q + 28r = −1 Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut. 12q + 32r = 2 16q + 28r = −1 Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p sebagai berikut. ⇒ 12q + 32r = 2 ⇒ 12q = 2 – 32r Kemudian, agar persamaan q di atas dapat disubtitusikan pada SPLDV kedua, kita sedikit modifikasi SPLDV menjadi bentuk seperti berkut. ⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal] ⇒ 4/3(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi] Kemudian masukkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tersebut. ⇒ 4/3(12q) + 28r = −1 ⇒ 4/3(2 – 32r) + 28r = −1 ⇒ 8/3 – 128r/3 + 28r = −1 Kalikan kedua ruas dengan angka 3 ⇒ 8 − 128r + 84r = −3 ⇒ −128r + 84r = −3 – 8 ⇒ −44r = −11 ⇒ r = −11/−44 ⇒ r = 1/4 Kemudian untuk menentukan nilai q, kita subtitusikan nilai r = 1/4 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 12q + 32r = 2 sehingga kita peroleh: ⇒ 12q + 32r = 2 ⇒ 12q + 32(1/4 ) = 2 ⇒ 12q + 8 = 2 ⇒ 12q = 2 – 8 ⇒ 12q = –6 ⇒ q = –6/12 ⇒ q = –1/2 Setelah nilai q dan r diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/2 dan r = 1/4 ke salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sehingga kita peroleh: ⇒ p + 2q + 4r = 1 ⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1 ⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1 ⇒ p – 1 + 1 = 1 ⇒ p + 0 = 1 ⇒ p = 1 Sampai disini kita sudah berhasil mendapatkan nilai p = 1, q = –1/2 dan r = 1/4 . Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan permisalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut. 1/x = p 1/y = q 1/z = r 1/x = 1 1/y = –1/2 1/z = 1/4 x = 1 y = –2 z = 4 Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −2, dan z = 4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(1 , −2, 4)}.