IDENTITAS TRIGONOMETRI

Berikut ini adalah rumus identitas trigonometri dasar yang dikutip dari buku Pembelajaran Trigonometri SMA terbitan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika:

(sin α)(sin α) + (cos α)(cos α) = 1
(tan α)(tan α) + 1 = (sec α)(sec α)
(cot α)(cot α) + 1 = (csc α)(csc α)
sin(90 − α)° = cos α°
cos(90 − α)° = sin α°
tan(90 − α)° = cot α°
cot(90 − α)° = tan α°
sec(90 − α)° = csc α°
csc(90 − α)° = sec α°
cos(180 − α)° = −cos α°
tan(180 − α)° = −tan α°
cot(180 − α)° = −cot α°
sec(180 − α)° = −sec α°
csc(180 − α)° = csc α°
sin(180 + α)° = −sin α°
cos(180 + α)° = −cos α°
tan(180 + α)° = tan α°
sin(360 − α)° = sin (−α°) = −sin α°
cos(360 −α)° = cos (−α°)= cos α°
tan(360 −α)° = tan (−α°) = − tan α°
sin(α + n.360)° = sin α°
cos(α + n.360)° = cos α°
tan(α + n.180)° = tan α°

Soal Identitas Trigonometri dan Pembahasannya

1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β).
   
   Pembahasan
   Dari pecahan (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
   1 + cot2 β = cosec2 β
   ⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β
   
   cot β . sec2 β = (cos β/ sinβ) . sec2 β
   ⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β)
   ⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β
   
   Setelah digabung kembali diperoleh : 
   (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β)
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β)
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β  
   Jadi, (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β.
2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α.
   
   Pembahasan
   Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.
   (sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α +  cos2 α
   ⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α +  cos2 α - 2 sin α. cos α
   ⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α
   Selanjutnya :
   (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
   ⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1
   Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1.
3. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α.
   
   Pembahasan
   sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α
   ⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1)
   ⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α)
   ⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α
   Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α.
   Terbukti.
4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
   a. 1 - cos2 β
   b. sin2 α -  cos2 α
   c. tan2 α - 1
   d. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α
   
   Pembahasan
   

   1. 1 - cos2 β
      
      Dari identitas sin2 β +  cos2 β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 - cos2 β = sin2 β
      Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β.
   2. sin2 α -  cos2 α
      
      Dari identitas sin2 α +  cos2 α = 1, maka sin2 α  = 1 - cos2 α.
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = 1 - 2 cos2 α
      Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α.
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = -cos 2α
      Jadi, sin2 α -  cos2 α = -cos 2α.
   3. tan2 α - 1
      Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α - 1
      ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 - 1
      ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 2
   4. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = sin2 α + cos2 α - 2 sin α cos α
      ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - 2 sin α cos α
      ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α
      Jadi,  sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α .
   
   
5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.
   a. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
   b. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
   c. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
   
   Pembahasan
   1. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin2 α + cos2 α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.
      
   2. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      
      Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3.
      Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α.
      

      ⇒ 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      ⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      ⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α.
      Terbukti.
   3. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
      Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 - 5 cos2 α.
      ⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
      ⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α
      ⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α.
      Terbukti. 

   
   

Contoh soal Identitas trigonometri dan Cara Penyelesaiannya

 Baca Juga : Contoh Soal Trigonometri lengkap