ROMAWI I

Nama : Rizky Amanda Amalia Putri

Kelas : XI IPS 1 (32)

ROMAWI 1

A. Barisan dan Deret Aritmetika

Sebetulnya barisan dan deret terbagi menjadi beberapa macam. Tapi, kali ini saya hanya akan membahas mengenai baris dan deret aritmatika.

Di atas tadi sempat saya singgung sedikit mengenai apa itu barisan. Barisan adalah daftar bilangan yang dituliskan secara berurutan dari kiri ke kanan, di mana ia mempunyai pola atau karakteristik bilangan tertentu. Barisan biasanya disimbolkan dengan Un;

Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;

Kemudian aritmetika adalah ilmu berhitung dasar yang mencakup penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, yang ada di dalam cabang ilmu pengetahuan matematika. Psstt, inget lho, ejaan yang benar itu ‘aritmetika’, bukan ‘aritmatika’.

Rumus Baris dan Deret Aritmetika

Bentuk Umum Barisan Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:

 = suku ke-n

 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Rumus Beda atau Selisih

Keterangan:

b = beda atau selisih

 = suku ke-n
 = suku sebelum suku ke-n

Rumus Suku Tengah

atau

Jika jumlah atau banyak suku dari suatu barisan aritmetika adalah ganjil, maka rumus untuk mencari suku tengahnya adalah sebagai berikut:

Keterangan:
 = suku tengah
 = suku terakhir
a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku

Kalau jumlah atau banyak sukunya genap, gimana tuh? Itu berarti barisan aritmetika tersebut nggak ada suku tengahnya, Sob.

Rumus Sisipan

Nah, gimana jadinya kalau elo menyisipkan bilangan dengan jumlah k ke dalam barisan aritmetika yang udah ada? Pastinya hal tersebut akan menyebabkan terbentuknya barisan aritmetika yang baru dan beberapa rumus di bawah ini juga ikut berubah, nih.

atau

Keterangan:

 = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika baru
n = jumlah atau banyaknya suku barisan aritmetika lama
k = jumlah atau banyaknya bilangan yang disisipkan ke barisan aritmetika lama
 = beda atau selisih barisan aritmetika baru
b = beda atau selisih barisan aritmetika lama

Rumus-Rumus Deret Aritmetika

Bentuk Umum Deret Aritmetika

 dengan  bilangan asli

Rumus Suku ke-n

atau

Keterangan:
 = suku ke-n
 = suku ke-n
 = a = suku pertama
n = jumlah atau banyaknya suku
b = beda atau selisih

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika

Biar elo semua makin pol ngerti, coba cermati beberapa contoh soal cerita barisan aritmatika dalam kehidupan sehari hari dan deret aritmetika di bawah ini, ya!

Contoh Soal 1

Terdapat sebuah barisan bilangan seperti berikut 3, 5, 7, 9, …
Berapakah suku ke-30 dari barisan tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
a = 3
b = 
= 5-3
= 2
Ditanyakan: U30?
Jawab:

= 3 + (30-1)2
= 3 + (29)2
= 3 + 58
= 61

Jadi, suku ke-30 dari barisan aritmetika tersebut adalah 61.

Contoh Soal 2

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut: 2, 6, 10, 14, …, 74. Berapa nilai suku tengahnya? Terletak pada suku ke berapa nilai tengah tersebut?

Pembahasan
Diketahui:
1. a = 2
2. b = 
= 6-2
= 4
3.  = 74

Ditanyakan:

a). ?

b). t suku tengah?

Jawab:
a). ?

= 1/2(2+74)
= 1/2(76)
= 38

Jadi, nilai suku tengah dari barisan aritmetika tersebut adalah adalah 38.

b). t suku tengah?

74 = 2 + (n-1)4
74 = 2 + 4n-4
74 = 4n – 2
74 +2 = 4n
76 = 4n
76/4 = n
19 = n

Jadi, jumlah atau banyaknya suku ada 18.

t = 1/2(n +1)
t = 1/2(19 +1)
t = 1/2(20)
t = 10.

Maka, suku tengah pada barisan aritmetika tersebut terletak pada suku ke-10.

Contoh Soal 3

Terdapat sebuah barisan aritmetika sebagai berikut 20 + 18 + 16, …
Tentukan berapa jumlah 12 suku pertamanya!

Diketahui:
a = 20
b = 2
Ditanyakan: Sn?
Jawab:

 =  (20 + 20 + (12-1)2))
= 6 (40 + 24 – 2)
= 6 (62)
= 372.

Jadi, jumlah 12 suku pertama dari barisan aritmetika tersebut adalah 372.

B. Barisan Geometri dan Deret Geometri

Jika kamu sudah membaca artikel tentang barisan dan deret aritmatika, kamu pastinya sudah tahu manfaat dari mempelajari konsep barisan dan deret dalam matematika. Nah, selain barisan dan deret aritmatika, ada satu lagi nih, yang mau kita bahas di artikel ini, yaitu barisan dan deret geometri.

Apa itu barisan dan deret geometri? Apa sih, perbedaannya dengan barisan dan deret aritmatika? Oke, supaya kamu nggak bingung, yuk langsung baca penjelasannya di bawah ini!

Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur.

Contoh lebih mudahnya begini, misal kamu punya barisan seperti ini:

1, 3, 9, 27, …

Dari barisan tersebut, kita bisa lihat antara suku pertama dengan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga dan seterusnya selalu punya pengali yang tetap, yaitu 3. Dengan demikian, barisan ini termasuk barisan geometri.

Nah, kalau barisan ini dituliskan dalam bentuk penjumlahan, namanya jadi deret geometri. Deret geometri itu bentuk penjumlahan dari barisan geometri. Penulisannya adalah seperti ini:

1 + 3 + 9 + 27 + … 

Paham ya, bedanya barisan dan deret? Lalu, kalau deret geometri tak hingga itu apa?

Deret geometri tak hingga hampir sama dengan deret geometri, namun deret tersebut diteruskan hingga nilainya tak hingga. Nanti kita bahas lebih lanjut ya, supaya kamu bisa lebih paham. Sekarang, kita bahas mulai dari barisan dan deret geometri dulu, yuk! Lalu selanjutnya kita akan bahas tentang deret geometri tak hingga.

 

Tadi, kita sudah mengenal pengertian serta contoh dari barisan geometri dan deret geometri. Sekarang, kita belajar rumus-rumusnya, ya!

Pada barisan geometri dan deret geometri, terdapat tiga rumus yang harus kamu ketahui, yaitu rumus rasio, rumus U_n, dan rumus S_n. Kita bahas satu per satu, ya!

 

1. Rumus Rasio pada Barisan dan Deret Geometri

Rasio adalah nilai pengali pada barisan dan deret. Rumus untuk mencari rasio pada barisan geometri dan deret geometri adalah seperti infografis berikut.

Misalnya kita punya barisan geometri: 

1, 3, 9, 27, 81, ....

Suku pertama (a) dari barisan geometri tersebut adalah 1. Maka r-nya adalah:

Jadi, rasio dari barisan geometri tersebut adalah 3.

Sekarang kita pelajari rumus suku ke–n (U_n), yuk!

 

2. Rumus Un pada Barisan dan Deret Geometri

U_n adalah suku ke-n pada barisan dan deret. Untuk mencari U_n pada barisan geometri dan deret geometri, kamu bisa menggunakan rumus berikut ini.

Misalnya kita punya barisan geometri: 

1, 3, 9, 27, 81, ....

Lalu, kita coba cari U_n nya. Misalnya n yang mau dicari adalah 6, maka:

U_n = ar^n-1

U₆ = ar⁵

U₆ = 1 . 3⁵

U₆ = 1 . 243

U₆ = 243

Jadi, U₆ dari barisan geometri tersebut adalah 243.

Mudah kan, rumusnya? Syaratnya adalah kamu harus mengetahui berapa nilai a dan r-nya. Dengan begitu, kamu sudah bisa mencari U_n dengan mudah. Sekarang, kita cari tahu rumus selanjutnya yuk!

 

3. Rumus Sn pada Barisan dan Deret Geometri

S_n adalah jumlah suku ke-n pada barisan dan deret. Nah, bagaimana cara kita mencari tau S_n pada barisan geometri dan deret geometri? Berikut ini adalah rumusnya. Check it out!

Misalnya kita punya barisan geometri:

1, 3, 9, 27, 81, ....

Lalu, kita coba cari S_n nya. Misalnya n yang mau dicari adalah 3, maka:

Jadi, S₃ dari barisan geometri tersebut adalah 13.

Oke, itu dia rumus S_n dalam barisan geometri dan deret geometri. Nah sekarang, kita lanjut bahas tentang deret geometri tak hingga, yuk!

 

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga itu dibagi menjadi 2 jenis yaitu deret geometri tak hingga divergen dan deret geometri tak hingga konvergen. Keduanya memiliki perbedaan yang cukup penting. Yuk, kita lihat pengertian dari kedua jenis deret geometri tak hingga tersebut beserta perbedaannya!

 

1. Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah suatu deret yang nilai bilangannya semakin membesar dan tidak bisa dihitung jumlahnya. Bisa kita lihat seperti di bawah ini,

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + ……………

Kalau ditanya berapa sih, jumlah seluruhnya? Jumlah seluruhnya tidak bisa dihitung karena nilainya semakin besar.

 

2. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Berbeda dengan deret geometri tak hingga divergen, deret geometri tak hingga konvergen merupakan suatu deret di mana nilai bilangannya semakin mengecil dan dapat dihitung jumlahnya. Seperti di bawah ini:

Semakin lama nilainya semakin mengecil dan ujungnya akan mendekati angka 0. Hal ini membuat deret geometri tak hingga konvergen dapat dihitung jika ditanyakan jumlah seluruhnya.

Lalu bagaimana cara menghitung jumlah seluruhnya dari deret geometri tak hingga konvergen?

 

3. Rumus Stak hingga pada Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Sebelum masuk ke rumus, ada syarat terlebih dahulu jika kamu bertemu dengan deret geometri tak hingga konvergen, yaitu rasionya harus bernilai antara -1 sampai 1 (-1 > r > 1) dan ini berlaku untuk negatif dan positif. Contohnya seperti deret di atas. Deret di atas rasionya adalah  sehingga bisa dihitung jumlah tak hingganya.

Nah, sekarang kita lihat yuk rumus untuk menghitung S_{tak hingga} atau jumlah tak hingganya!

 

Misalnya kita punya deret geometri tak hingga konvergen:

Lalu, kita coba cari S_{tak hingga} nya, maka:

Jadi, S_{tak hingga} darideret geometri tak hingga konvergen tersebut adalah 

Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri

Contoh Soal 1: Soal Khusus

Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan… 

Pembahasan:

Diketahui: a = 1

r = 2

Ditanya: 

Jawab:

= 16

Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 16

Contoh Soal 2

Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah…

Pembahasan:

Diketahui: a = 3

Ditanya: 

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari  , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa  sehingga   dapat ditulis menjadi

Sehingga,

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

Contoh Soal 3

Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah…

Pembahasan

Dalam contoh soal barisan dan deret geometri di atas, diketahui 

Ditanya  
Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali  maka

Substitusikan r = 3 ke persamaan  

sehingga

= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

Contoh Soal 4

Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah…

Pembahasan

Diketahui: a =  2

r = 3

ditanyakan 

Jawab:

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

C. Bunga, penyusutan, pertumbuhan dan peluruhan, bunga dan anuitas.

•> Bunga

Istilah bunga banyak digunakan dalam transaksi simpan pinjam sejumlah uang atau modal. Bunga merupakan imbalan jasa atas penggunaan sejumlah uang atau modal yang dibayar pada waktu yang disepakati. Bunga umumnya dinyatakan dalam bentuk persentase, yaitu persentase dari modal pokok.

Perhitungan bunga umumnya dilakukan setelah selang waktu tertentu yang disepakati. Satu selang waktu yang disepakati untuk perhitungan bunga disebut periode. Periode perhitungan bunga atas sejumlah modal yang disimpan dalam bank tidaklah sama, ada yang periodenya satu hari disebut bunga harian, ada yang satu bulan disebut bunga bulanan, ada yang satu tahun disebut bungan tahunan, dan lain-lain.

• Contoh : Modal sebesar Rp. 1.000.000,00 disimpan di bank dengan bunga 10% setahun, maka setelah setahun bunga modal tersebut 

= 10% . Rp 1.000.000,00 =

Rp 100.000,00

•> Penyusutan 

Barang-barang seperti mesin produksi, kulkas, televisi, komputer, bangunan, mobil, merupakan barang-barang yang tidak habis dalam satu kali pemakaian. Nilai sebuah barang yang tidak habis dalam satu kali pemakaian akan mengalami penurunan sejalan dengan waktu atau lama pemakaiannya. Penurunan nilai suatu barang akibat pemakaian dalam selang (periode) waktu tertentu disebut penyusutan (depresiasi). Penyusutan suatu barang dalam selang waktu tertentu umumnnya dinyatakan dalam persentase dari nilai barang sebelumnya.

Ada 2 jenis penyusutan yang umum dikenal, yaitu :

a. penyusutan dari nilai buku

b. penyusutan dari harga beli

•> Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan kenaikan atau pertambahan nilai suatu besaran terhadap besaran sebelumnya. Peristiwa yang termasuk dalam pertumbuhan adalah pertambahan penduduk dan perhitungan bunga majemuk di bank. Terdapat dua jenis pertumbuhan, yaitu pertumbuhan eksponensial dan pertumbuhan linier.

Contoh : Banyak penduduk kota A setiap tahun meningkat 2% secara eksponensial dari tahun sebelumnya. Tahun 2013 penduduk di kota A sebanyak 150.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2014 dan 2023!

Jawab : 

•> Bunga dan Anuitas

Bunga :

contoh:

anuitas:

contoh:

daftar pustaka :

https://www.zenius.net/blog/barisan-dan-deret-aritmetika

https://www.ruangguru.com/blog/barisan-dan-deret-geometri

https://www.zenius.net/blog/contoh-soal-barisan-dan-deret-geometri

Buku paket Matematika Wajib kelas XI SMA/MA /PKS/Gematama/Kurikulum 2013 Edisi Revisi/Wilson Simangunsong/