FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

 

Pengertian Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang menggunakan trigonometri.  kita ketahui bahwa fungsi terdiri dari fungsi alajabar dan juga fungsi trigonometri. Dalam fungsi trigonometri ini kita tentu menggunakan aturan-aturan trigonometri. seperti aturan sin, cos dan tan. semua itu akan di bahas pada materi ini.

Contoh Soal Fungsi Trigonometri

Untuk lebih memahami fungsi trigonometri mari kita pelajari contoh trigonometri dan pembahasan trigonometri berikut ini:

1. diketahui persamaan trigonometri sin 2x = cos 3x,  maka himpunan penyelesaiannya adalah….

Pembahasan:

sin 2x = cos 3x

sin 2x = sin (90° – 3x)

2x = 90° – 3x + k 360°

5x = 90° + k 360°

5x = 90° x = 18

Atau 5x = 90° + 360° x = 90

atau 5x = 90° + 720° x = 162

atau 5x = 90° + 1080° x = 234

Atau 5x = 90° + 1440° x = 306

Himpunan penyelesaian dari sin 2x = cos 3x adalah (18°, 90°, 162°, 234°, 306°).

 

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi trigonometri diantaranya:

Jenis-jenis fungsi trigonometri

LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

 

Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga

1. ATURAN SINUS

Untuk memahami asal dari aturan sinus dalam segitiga, perhatikan △ ACD dan △BCD pada gambar di bawah ini :

Aturan Sinus

Sehingga untuk setiap segitiga sembarang berlaku Aturan Sinus sebagai berikut :₂

Aturan Sinus 2

2. Aturan Cosinus

Perhatikan gambar berikut!

Aturan Cosinus

b²  =CD²  +  AD² ..... (1)

Pada △BCD

Sin B=CD  ⇔ CD=a. Sin B... (2)
               a

Cos B=BD  ⇔ BD=a. Cos B... (3)
                a

AD=AB - BD=c - a. Cos B.... (4)

Jika kita substitusi ke persamaan (1) maka didapatkan

b²=(a. Sin B)² + (c - a. Cos B)²
b²=a². Sin² B + c² - 2.a.c. Cos b + a² Cos² B
b²=a² (Sin² B + Cos² b) + c² - 2.a.c.Cos B
b²=a² + c² - 2.a.c.Cos B

Maka didapatkan Aturan Cosinus sebagai berikut:

Aturan Cosinus 2

Dari aturan cosinus tersebut  kita menggunakan cara aljabar, maka akan didapat rumus untuk menentukan nilai dari cosinus salah satu sudut dalam segitiga.

               a²  =b² + c² - 2.b.c.Cos A
2.b.c.Cos A=  b² + c² - a²
         Cos A=  b² + c² - a²
                             2.b.c

⇔   Cos B=  a² + c² - b²

                             2.a.c

⇔   Cos C=  a² + b² - c²

                             2.a.b

3. Luas Segitiga

Rumus Luas Segitiga

Perhatikan △ABC disamping !

Sin A=CD

                b

⇔ CD=b. sin A

Seperti yang kita ketahui dalam pelajaran matematika di Sekolah Dasar, rumus luas segitiga adalah:

½ x alas x tinggi

Dalam △ABC disamping

⇨ ½ x AB x CD
⇨  ½ x c x b.Sin A

Maka luas △ABC bisa didapat dengan rumus :

Luas △= ½ b.c.Sin A

Luas △= ½ a.c.Sin B

Luas △= ½ a.b..Sin C

KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS

 

Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub

Koordinat kartesius suatu titik merupakan posisi suatu titik dalam arah sumbu x dan dalam arah sumbu y terhadap titik asal O (0,0) sebagai titik pusatnya. Koordinat kartesius ditulis dengan notasi titik P (x,y).

Koordinat Kutub (Polar) suatu titik merupakan besarnya jarak suatu titik tertentu P (x,y) terhadap titik asal O (0,0) dan besarnya sudut yang terbentuk oleh garis OP terhadap sumbu x. Koordinat kutub ditulis dengan notasi P (r,α°).

Untuk mengkonversi koordinat kartesius menjadi koordinat kutub dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat kartesius ----> Koordinat Kutub

                     P (x,y)    ---->  P (r, α°)

dimana: r = √x²+y²

                α = tan^-1 (y/x) atau tan α = y/x

Nilai α dapat ditentukan dengan menggunakan tabel Matematika Sin Cos Tan atau menggunakan kalkulator. Cara menentukan nilai α dengan kalkulator dilakukan sebagai berikut:
a. Misal nilai y = -3 dan x = 4,
b. Tekan tombol angka 3 ,
c. Tekan tombol ± dan tekan tombol : ,
d. Tekan tombol angka 4 ,
e. Tekan tombol = ,
f. Kemudian tekan tombol 2nd atau SHIFT,

g. Terakhir tekan tombol tan,

maka akan muncul hasil berupa angka -36,869... dengan memberikan satuan ° (derajat) bernilai -36,869° atau biasanya ditulis -37°.

Untuk mengkonversi koordinat kutub menjadi koordinat kartesius dari suatu titik digunakan rumus sebagai berikut.

Koordinat Kutub ----> Koordinat kartesius

               P (r, α°)  ---->  P (x,y)

dimana: x = r . Cos α°

                y = r . Sin α°

Contoh Soal Konversi Koordinat:
1. Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui:  x = 4 dan y = -3

maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)
              = -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).
2. Konversikan koordinat kartesius P (6,8) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui:  x = 6 dan y = 8

maka r = √x²+y² = √6²+8² = √100 = 10

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (8/6)
              = 53,13 ° atau 53°
Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).

3. Konversikan koordinat kutub P (10,60°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui:  r = 10 dan α = 60°

maka x = r . Cos α = 10 . cos 60°
               = 10 . 1/2= 5
dan    y = r . Sin α = 10 . Sin 60°
               = 10 . 1/2√3= 5√3

Jadi koordinat kartesiusnya (5, 5√3).

4. Konversikan koordinat kutub P (20,53°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui:  r = 20 dan α = 53°

maka x = r . Cos α = 20 . cos 53°
               = 20 . 0,6= 12
dan    y = r . Sin α = 20 . Sin 53°
               = 20 . 0,8 = 16

Jadi koordinat kartesiusnya (12, 16).

5. Tentukan koordinat kutub jika diketahui koordinat kartesius suatu titik A (-2√3, -2) !
Penyelesaian:
Diketahui:  x = -2√3 dan y = -2

maka r = √x²+y² = √(-2√3)²+(-2)²
              = √(4.3)+4 = √12+4 = √16 = 4

           α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-2/-2√3)
              = tan^-1 (1/√3) = 30°
Jadi koordinat kutubnya (4, 30°).

SOAL KONTEKSTUAL BERKAITAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU - SIKU, SUDUT ELEVASI DAN SUDUT DEPRESI

Apakah sudut elevasi dan sudut depresi itu? Untuk mengetahui definisi kedua macam sudut tersebut, perhatikan ilustrasi berikut.

Sudut Elevasi adalah sudut yang terbentuk oleh garis horizontal dengan mata pengamat dengan arah pandang ke atas.

Sudut Depresi adalah sudut yang terbentuk oleh garis horizontal dengan mata pengamat dengan arah pandang ke bawah.

Masalah Kontekstual mengenai Sudut Elevasi dan Sudut Depresi

1. Sebuah pohon berjarak 130 meter dari seorang pengamat dengan tinggi mata pengamat dari tanah adalah 168 cm. Apabila sudut elevasi yang terbentuk adalah 60° dari mata pengamat ke pucuk pohon, maka tinggi pohon tercebut adalah ….

Jawab:

Agar mudah dalam menyelesaikan masalah di atas, kita harus mampu mentransformasi setiap kalimat dari perrnyataan di atas dalam sebuah gambaran.

 

Dik: Jarak pengamat ke pohon: 130 meter

Tinggi pengamat: 168 cm = 1,68 meter

Sudut Elevasi 60°

Dit: Tinggi pohon.

Penyelesaian:

Pertama. Buatlah ilustrasinya

Kedua. Buatlah pemisalan agar memudahkan kita dalam mencari perbandingannya

Misalkan:

Tinggi pohon – tinggi pengamat       = t

Jarak pengamat ke pohon                 =x

Sehingga kita bisa membuat ilustrasi yang lebih sederhana dengan menggunakan segitiga siku-siku

Dari gambar segitiga siku-siku di atas, jika kita menjadikan sudut 60° sebagai acuan, dimana: x adalah sisi samping dan t adalah sisi depan. Sehingga perbandingan yang digunakan adalah

Sehingga, tinggi pohon adalah = t + tinggi pengamat 

 

2. Seseorang dari atas sebuah gedung mengamati sebuah toko di seberang jalan. Sudut terbentuk dari pengamatan tersebut adalah 45° . Tinggi gedung 10 lantai itu adalah 52 meter. Berapak jarak antara Gedung dengan toko yang diamati tersebut?

 

Jawab:

Dik : Tinggi Gedung = 52 meter

Sudut depresi  = 45°

Dit : Jarak antara Gedung dengan toko

Penyelesaian:

Sama halnya dengan Langkah nomor 1, buatlah ilustrasi dan misalkan masalah di atas. Berikut ilustrasi sederhana mengenai jarak Gedung dan toko

Dari gambaran segitiga siku-siku di atas diketahui bahwa: x adalah sisi depan dan t adalah sisi sampingnya. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

Jadi, jarak Gedung dengan toko adalah 52 meter.

3. Dua orang siswa yang tingginya sama yaitu 160 cm, sedang berdiri menghadap tiap bendera. Siswa pertama berada 10 meter di depan siswa kedua. Jika sudut elevasi yang terbentuk pada siswa pertama dan kedua terhadap puncak tiang bendera berturut-turut adalah 60º dan 30º , maka tinggi tiang bendera tersebut adalah ….

Jawab:

Dik :

Tinggi pengamat         : 160 cm = 1,6 meter

Jarak siswa satu dengan yang lainnya    : 10 meter

Sudut elevasi Siswa I terhadap puncak bendera  : 60º

Sudut elevasi siswa II terhadap puncak bendera : 30º

Dit : Tinggi tiang bendera    :

Penyelesaian:

Pertama. Buatlah ilustrasinya

Kedua. Buatlah pemisalan agar memudahkan kita dalam mencari perbandingannya.

Nah, pada kasus ini, kita terlebih dahulu dapat menambahkan ilustrasi sederhana berupa gambaran segitiga yang dapat memudahkan kita dalam memberikan pemberian nama pada titik-titiknya.

Misalkan:

AC : tinggi tiang bendera

DG : Tinggi siswa I

EF  : Tinggi siswa II

DE = FG = jarak siswa I dan siswa II

BC ke DG adalah jarak tiang bendera ke siswa I

Misalkan kita buat segitiga di atas menjadi 2 bagian yaitu segitiga ABG dan segitiga ABF. Karena yang kita cari adalah tinggi tiang listrik, maka kita akan mengarahkan untuk mencari AB

 

• Segitiga ABG

• Segitiga ABF

Perhatikan Kembali uraian segitiga ABG, AB =  jadi tinggi AB = 

 

Sehingga tinggi tiang bendera:

 

Soal FungsI : Kuadrat, Rasional, Irasional

 Soal Fungsi Kuadrat 

1. Jika puncak dari grafik y = x 2  + px + q adalah (2, 3), tentukan nilai p + q.

jawab:

2. Jika fungsi y = ax 2  + 8x + (a+2) mempunyai sumbu simetri x = 2, carilah koordinat titik puncaknya.

soal pertidaksamaan rasional

 

soal irasional

Post

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Berikut ini adalah rumus identitas trigonometri dasar yang dikutip dari buku Pembelajaran Trigonometri SMA terbitan Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika:

(sin α)(sin α) + (cos α)(cos α) = 1
(tan α)(tan α) + 1 = (sec α)(sec α)
(cot α)(cot α) + 1 = (csc α)(csc α)
sin(90 − α)° = cos α°
cos(90 − α)° = sin α°
tan(90 − α)° = cot α°
cot(90 − α)° = tan α°
sec(90 − α)° = csc α°
csc(90 − α)° = sec α°
cos(180 − α)° = −cos α°
tan(180 − α)° = −tan α°
cot(180 − α)° = −cot α°
sec(180 − α)° = −sec α°
csc(180 − α)° = csc α°
sin(180 + α)° = −sin α°
cos(180 + α)° = −cos α°
tan(180 + α)° = tan α°
sin(360 − α)° = sin (−α°) = −sin α°
cos(360 −α)° = cos (−α°)= cos α°
tan(360 −α)° = tan (−α°) = − tan α°
sin(α + n.360)° = sin α°
cos(α + n.360)° = cos α°
tan(α + n.180)° = tan α°

Soal Identitas Trigonometri dan Pembahasannya

1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β).
   
   Pembahasan
   Dari pecahan (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
   1 + cot2 β = cosec2 β
   ⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β
   
   cot β . sec2 β = (cos β/ sinβ) . sec2 β
   ⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β)
   ⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β
   
   Setelah digabung kembali diperoleh : 
   (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β)
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β)
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β
   ⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β  
   Jadi, (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β.
2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α.
   
   Pembahasan
   Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.
   (sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α +  cos2 α
   ⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α +  cos2 α - 2 sin α. cos α
   ⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α
   Selanjutnya :
   (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
   ⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1
   Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1.
3. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α.
   
   Pembahasan
   sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α
   ⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1)
   ⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α)
   ⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α
   Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α.
   Terbukti.
4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
   a. 1 - cos2 β
   b. sin2 α -  cos2 α
   c. tan2 α - 1
   d. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α
   
   Pembahasan
   

   1. 1 - cos2 β
      
      Dari identitas sin2 β +  cos2 β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 - cos2 β = sin2 β
      Jadi, 1 - cos2 β = sin2 β.
   2. sin2 α -  cos2 α
      
      Dari identitas sin2 α +  cos2 α = 1, maka sin2 α  = 1 - cos2 α.
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = 1 - cos2 α - cos2 α
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = 1 - 2 cos2 α
      Karena 2 cos2 α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos2 α = - cos 2α.
      ⇒ sin2 α -  cos2 α = -cos 2α
      Jadi, sin2 α -  cos2 α = -cos 2α.
   3. tan2 α - 1
      Dari identitas 1 + tan2 α = sec2 α, maka tan2 α = sec2 α - 1
      ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 1 - 1
      ⇒ tan2 α - 1 = sec2 α - 2
   4. sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = sin2 α + cos2 α - 2 sin α cos α
      ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - 2 sin α cos α
      ⇒ sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α
      Jadi,  sin2 α - 2 sin α cos α + cos2 α = 1 - sin 2α .
   
   
5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.
   a. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
   b. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
   c. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
   
   Pembahasan
   1. 1/3 sin2 α + 1/3 cos2 α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin2 α + cos2 α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.
      
   2. 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      
      Ingat bahwa sin2 α + cos2 α = 1, maka 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3.
      Dari 3 sin2 α + 3 cos2 α = 3, maka 3 cos2 α = 3 - 3 sin2 α.
      

      ⇒ 3 cos2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      ⇒ 3 - 3 sin2 α - 2 = 1 - 3 sin2 α
      ⇒ 1 - 3 sin2 α = 1 - 3 sin2 α.
      Terbukti.
   3. 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
      Dari 5 sin2 α + 5 cos2 α = 5, maka 5 sin2 α = 5 - 5 cos2 α.
      ⇒ 3 + 5 sin2 α = 8 - 5 cos2 α
      ⇒ 3 + 5 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α
      ⇒ 8 - 5 cos2 α = 8 - 5 cos2 α.
      Terbukti. 

   
   

Contoh soal Identitas trigonometri dan Cara Penyelesaiannya

 Baca Juga : Contoh Soal Trigonometri lengkap